a.a. 2018/2019

Responsabile didattico: Cristian Marchioli

Docenti: Cristian Marchioli, Jean Mawhin, Guido De Philippis, Rodica Toader, Debora Amadori, Elisabetta Rocca, Virginia Agostiniani

Durata: 28 ore

Programma:

Presentazione e scopi del corso: Comprendere i processi di trasporto di massa, quantità di moto ed energia è importante in numerosi ambiti, dall’ingegneria alla medicina alla biologia. La conoscenza dei processi di trasporto risulta fondamentale per la progettazione e l’analisi del funzionamento di diverse apparecchiature: circuiti di raffreddamento per dispositivi elettronici, combustori industriali e reattori biologici per l’accrescimento cellulare sono solo alcuni esempi.

Obiettivo di questo corso è fornire agli studenti gli strumenti necessari per sviluppare e analizzare criticamente modelli matematici dei problemi di trasporto di massa quantità di moto e energia; fornire le nozioni fondamentali per il calcolo numerico e la risoluzione delle equazioni differenziali che governano i processi esaminati. Il corso verterà su argomenti di meccanica dei fluidi, trasporto di materia e interazioni biochimiche. I problemi e gli esempi includeranno le soluzioni analitiche.

Verranno accennate le metodologie per eventuali soluzioni numeriche.

Emmy Noether's unique in delity to algebra: symmetry and conservation laws: l'uso delle simmetrie del lagrangiano per trovare integrali primi o leggi di conservazione.

Il problema isoperimetrico: un'introduzione alla teoria geometrica della misura. Il problema isoperimetrico consiste nel trovare l'insieme di area prescritta con perimetro minimo, esso è forse il problema più vecchio nel calcolo delle variazioni e la sua soluzione era già nota agli antichi greci. Una sua formulazione rigorosa è stata tuttavia possibile solo negli ultimi cento anni. Scopo del seminario è introdurre il problema e mostrare alcune delle tecniche che hanno portato alla sua soluzione e alla nascita della teoria geometrica della misura. 

Introduzione ai fenomeni di trasporto per diffusione e trasporto per convezione: Trasporto per diffusione e legge di Fick. Esempi: Diffusione attraverso film stagnante, diffusione attraverso membrane porose e non porose, diffusione con reazione. Trasporto per convezione. Esempi: Trasporto da una bolla di ossigeno, trasporto convettivo con reazione. Trasporto per convezione-diffusione. Esempi: Flussi turbolenti ed equazioni di Navier-Stokes.

Introduzione ai Problemi Differenziali: Equazioni differenziali ordinarie (ODE) e alle derivate parziali (PDE). Classificazione delle PDE.

Introduzione ai Metodi Numerici per Equazioni Differenziali Ordinarie: Metodi alle Differenze Finite.  Tecniche di integrazione temporale. Metodi Risolutivi per sistemi di equazioni: Metodi diretti e impliciti.  Metodi ai Volumi Finiti (Facoltativo). Metodi spettrali (Facoltativo). Esercitazione “hands-on computer”

Il corso intende presentare in maniera accessibile diversi aspetti della modellizzazione matematica di fenomeni osservati in meccanica, scienza dei materiali, biologia, neuroscienze. Partendo dalle applicazioni si arriverà a introdurre la formulazione rigorosa dei problemi matematici e a mostrare alcune tecniche che portano alla loro soluzione. I modelli verranno descritti in una serie di seminari che saranno accompagnati da lezioni preparatorie e incontri di approfondimento.

Matematica e fenomeni collettivi: verrà introdotta una classe di modelli di sincronizzazione per oscillatori, in particolare il modello di Kuramoto, che trovano applicazione in diversi ambiti, fra cui neuroscienze, biologia.

Modelli matematici in fisica, biologia, materiali speciali: verrà passata in rassegna una classe di
modelli matematici illustrando il loro ambito applicativo ed alcune tecniche usate per studiarli.

Modellare con l'analisi matematica oggetti sottili che si arricciolano: dalla natura alla tecnologia. Verranno presentati alcuni aspetti della modellizzazione del comportamento di strutture sottili come per esempio i nastri e le loro applicazioni tecnologiche.

Corsi a.a. 2018/2019